Verteilungen und Stichproben

Worum es geht: Niemand befragt alle Kunden und niemand prüft jedes Teil. Man sieht sich einen Ausschnitt an und schließt auf das Ganze. Diese Lektion zeigt, wann das trägt – und woran man erkennt, dass eine Zahl nicht belastbar ist.

1. Die Frage jedes Betriebs 📊

Wie hoch ist die durchschnittliche Bestellung in Ihrem Shop? Sie könnten alle 40.000 Bestellungen auswerten. Oder Sie sehen sich 50 an und rechnen den Mittelwert aus.

Die zweite Antwort ist fast immer richtig genug – wenn man weiß, wie genau „genug“ ist. Genau darum geht es hier.

2. Ziehen Sie Stichproben

Die wahre mittlere Bestellung liegt bei 62 Euro – im Labor wissen wir das, in der Wirklichkeit nie. Ziehen Sie mehrmals hintereinander und beobachten Sie, wie der Schätzwert springt:

3. Die wichtigste Erkenntnis 🎯

Bei fünf Bestellungen springt der Schätzwert wild – mal 48 Euro, mal 77. Bei 200 liegt er fast immer zwischen 60 und 64. Die Stichprobe wird nicht „genauer“, weil sie einen größeren Anteil erfasst, sondern weil sich Zufälle gegenseitig ausgleichen.

Der Zusammenhang ist dabei unbequem: Um die Genauigkeit zu verdoppeln, braucht es die vierfache Menge. Von 50 auf 200 lohnt sich. Von 5.000 auf 20.000 verbessert das Ergebnis kaum noch und kostet viel.

4. Der Bereich statt der Zahl

Der blaue Bereich im Labor ist das Vertrauensintervall. Er bedeutet: Wenn man diese Untersuchung hundertmal wiederholen würde, läge der wahre Wert in etwa 95 der Fälle in diesem Bereich.

Das ist die ehrliche Art, ein Ergebnis anzugeben. „Die mittlere Bestellung liegt bei 61,40 Euro“ klingt genauer, als es ist. „Sie liegt zwischen 57 und 66 Euro“ sagt dasselbe und verschweigt die Unsicherheit nicht.

5. Die Glockenkurve – und wann sie nicht passt 🔔

Viele Größen verteilen sich glockenförmig um einen Mittelwert: Körpergrößen, Messfehler, Schwankungen im Tagesgeschäft. Das ist der Grund, warum die Normalverteilung überall auftaucht – und zugleich eine Falle.

Denn manche Größen verhalten sich anders. Umsätze je Kunde, Zugriffe je Seite, Dateigrößen: Dort gibt es wenige sehr große Werte, die den Mittelwert verzerren. Ein einziger Großkunde hebt den „durchschnittlichen Auftragswert“ so an, dass er für keinen einzigen echten Auftrag typisch ist.

Die Abhilfe ist einfach: Schauen Sie auf den Median, den mittleren Wert, wenn man alle sortiert. Er lässt sich von Ausreißern nicht beeindrucken. Wenn Mittelwert und Median weit auseinanderliegen, ist der Mittelwert die falsche Zahl.

6. Für KI heißt das 🤖

Drei Stellen, an denen dieses Wissen direkt zählt. Erstens beim Prüfen eines Modells: Eine Genauigkeit von 94 Prozent, gemessen an 50 Testfällen, hat einen Bereich von etwa 87 bis 98 Prozent. Der Unterschied zu einem Modell mit 91 Prozent ist damit nicht belegt.

Zweitens bei Trainingsdaten: Wenn die Stichprobe schief ist, lernt das Modell diese Schieflage mit. Ein Gesichtserkenner, der überwiegend an hellhäutigen Gesichtern trainiert wurde, arbeitet bei anderen schlechter – nicht aus Bosheit, sondern weil die Stichprobe es so vorgegeben hat.

Drittens bei A/B-Tests: Zwei Fassungen zu vergleichen heißt, zwei Stichproben zu vergleichen. Ohne ausreichende Menge misst man Zufall.

7. In Python

import numpy as np

bestellungen = np.random.normal(62, 18, 50)   # 50 Bestellungen

mittel = bestellungen.mean()
median = np.median(bestellungen)
fehler = bestellungen.std(ddof=1) / np.sqrt(len(bestellungen))

print(f"Mittelwert: {mittel:.2f} EUR")
print(f"Median:     {median:.2f} EUR")
print(f"Bereich:    {mittel - 1.96*fehler:.2f} bis {mittel + 1.96*fehler:.2f} EUR")

8. Was Sie mitnehmen sollten

• Genauigkeit wächst mit der Wurzel aus der Menge – vierfache Menge für doppelte Genauigkeit.
• Geben Sie Bereiche an, nicht einzelne Zahlen.
• Bei schiefen Verteilungen ist der Median ehrlicher als der Mittelwert.
• Eine Zahl ohne Angabe der Fallzahl ist keine Information.